解數(shù)學(xué)題時， 教師讓學(xué)生掌握解題思維的程序是非常重要的。因此，一個數(shù)學(xué)教師有必要探索數(shù)學(xué)的解題思維程序，并在解題教學(xué)中盡可能多地做出示范，使學(xué)生對于解題思維的程序、思維受阻后的迂回及轉(zhuǎn)換有一個較為清晰的認(rèn)識，從根本上提高學(xué)生的解題能力及科學(xué)思維素質(zhì)。

我從“釋題”、“分析”、“解題”、 “反思”這四個環(huán)節(jié)來揭示解題的思維程序、一般規(guī)律及其作用。

    一、釋題

    釋題的目的是為了弄清問題，教會學(xué)生從問題的敘述入手，觀察揣摩整個問題，仔細(xì)地研究題目的意義，盡可能認(rèn)識感知問題的表向，并指導(dǎo)學(xué)生很好地完成下列工作：

    ①找出問題的已知條件和所求；

    ②將問題的已知條件和所求分成若干個部分；

    ③畫出圖形或列出一些數(shù)據(jù)；

    ④在圖形或數(shù)據(jù)中引入的符號，并盡可能更多地將已知和所求“標(biāo)”出來。

    通過上述的釋題工作，不但能教會學(xué)生將手頭的“問題”弄得盡可能清晰、鮮明，而且教者也在釋題過程中不知不覺地向?qū)W生滲透了解題策略中的“具體化原則”，使學(xué)生通過上述這些具有一般性的工作程序，逐步悟出釋題的真諦——“問題解決”的奧妙，常常存在于對題目的“最初認(rèn)識”過程之中。

    二、分析

    全神貫注地進(jìn)行解題的思維程序，是完成解題目標(biāo)的關(guān)鍵之所在，也是培養(yǎng)和提高學(xué)生科學(xué)思維素質(zhì)最有利的時機(jī)。

    ⑴尋找突破口，并努力向所求靠攏所謂的突破口，常常是指人們在釋題中較為敏感的那些因素。所以我們從“問題” 的敘述中，努力尋找那些最熟悉最感興趣最多疑最難下手的部分，它們往往便是問題的突破口。一般有以下幾種情形：

    ①是“問題”已知條件的一部分；

    ②是“問題”的所求；

    ③是“問題”的圖形；

    ④是“問題”中的一個特殊數(shù)據(jù)或表達(dá)式子。

    我們之所以會認(rèn)為某部分是問題的突破口，是因為我們是由此部分可想到下列問題中的若干個。

    ①由此可導(dǎo)出一些有用的東西；

    ②由此聯(lián)想到了一個較為熟悉的定理；

    ③由此聯(lián)想到了一個較為熟悉的解題方法；

    ④由此聯(lián)想到了一個較為熟悉的解題規(guī)律；

    ⑤由此聯(lián)想到了某個解題策略；

    ⑥由此聯(lián)想到了早已解決并能用得上的問題；

    ⑦由此能構(gòu)造出一個有用的圖形、函數(shù)、多項式或其它數(shù)學(xué)對象�？傊�，把你所想到的問題都找出來，通過學(xué)習(xí)篩選并有序地排列，然后再與所求進(jìn)行比較，這一過程是由突破口向所求靠攏的過程，也是促使你熟悉解題技能，培養(yǎng)探索數(shù)學(xué)問題能力的過程。

    ⑵思維受阻后的迂回與轉(zhuǎn)換在由突破口向“問題解決”靠攏的過程中，一帆風(fēng)順地進(jìn)行并不多見，常常會“卡殼”于某一細(xì)節(jié)之中。此時，教師想方設(shè)法教會學(xué)生怎樣從“無計可施”的窘境中擺脫出來，則顯得十分重要。

    思維受阻后的迂回與轉(zhuǎn)換一般要經(jīng)歷如下思考程序：

    ①利用這個“突破口”可以把所求確定到什么程度？在此基礎(chǔ)上若完成解題目標(biāo)，還需要些什么重要條件？

    ②回到已知中去，能否找到繼續(xù)解決問題所必須而原來并未注意到的重要條件？圖形與已知條件是否充分？能否引入輔助元素而創(chuàng)設(shè)？

    ③是否有繼續(xù)解決問題所必須而原來并不具備的條件？

    ④重新揣摩“所求”�；貞浤闶欠窠鉀Q過與其類似的問題？是否了解解決問題的一般方法和規(guī)律？經(jīng)歷了上述幾項思維程序后，仍然不能擺脫困境，還可以考慮如下問題：

    ⑤是否考慮了“問題”中包括的所有的概念？

    ⑥是否利用或違背了某個概念的規(guī)律性的東西？

    ⑦解決此問題是否另有途徑（重新選擇突破）？

    通過“分析”這一步，可以看出，設(shè)法啟發(fā)學(xué)生“思維受阻”時找到應(yīng)采取的策略，正是我們所要達(dá)到的目的之一，這就要求教師在平時的解題教學(xué)中，不要輕易地丟掉學(xué)生找到的“突破口”，更不要輕易地放棄一個勇于發(fā)言，而又“啟而不發(fā)”的學(xué)生的某些意見。要知道這恰恰是教師向?qū)W生展現(xiàn)思維受阻后迂回和轉(zhuǎn)換這一思維過程的最有利時機(jī)。不要過分地計較教學(xué)進(jìn)度，重要的是學(xué)生得到了多少比純數(shù)學(xué)問題本身更為重要的東西，即當(dāng)問題有所變化，乃至變化較大時，學(xué)生也能應(yīng)付，這才是解決問題的最可貴之處。

    三、解題

    解題是對釋題、分析加以落實和驗證的過程。當(dāng)人們抓住了問題的主要條件，包括可能成立的解題細(xì)節(jié)，便可進(jìn)入解題這一程序。解題包括兩項工作：

    ①完成釋題、分析中認(rèn)為可行的一切細(xì)節(jié)，并加以完善，解題過程應(yīng)力求清晰、詳盡規(guī)范；

    ②邊完成解題細(xì)節(jié)，邊用邏輯推理或直觀觀察的方法加以驗證。

    解題絕非是釋題、分析的終結(jié)，而常常是“問題”的再分析，乃至再釋題的開始。經(jīng)過釋題、分析這兩大環(huán)節(jié)，進(jìn)入解題這一環(huán)節(jié)后，有時仍然存在某些紕漏乃至謬誤，需要在重新釋題和分析中去解決。這便是 “實踐認(rèn)識再實踐再認(rèn)識”的認(rèn)知規(guī)律在解題活動中的體現(xiàn)。要讓學(xué)生學(xué)會并掌握這種 “循環(huán)往復(fù)”的解題思維規(guī)律，能在解題受挫時，回到已知中去尋求新的解題方法。

    四、反思

    學(xué)生常犯的錯誤是，當(dāng)他們得到問題的解答并很干脆地寫下解題步驟時，他們的思維便松懈了。我們應(yīng)提醒學(xué)生做好以下幾項工作：

    ⑴檢驗與改進(jìn)

    ①能否一眼看出答案的正確性？

    ②能否檢驗這個解答？

    ③考慮解題的細(xì)節(jié)，尤其是較冗長的部分，能否使它盡可能地短些？

    ⑵總結(jié)與應(yīng)用

    ①總結(jié)本題應(yīng)用了哪些知識？通過此題的解答，你對所學(xué)的這些知識又有了哪些新的認(rèn)識？

    ②總結(jié)本題的解題方法，找出其規(guī)律性和一般性，并試圖應(yīng)用于其它問題。

    ③此題的結(jié)論或整個命題能否應(yīng)用于解決其它問題？

    ⑶引伸與拓廣

    ①能否將此問題的所求加以改變？

    ②能否將此題目的條件加以變更得出新的所求？

    ③能否將此題的已知條件和所求進(jìn)行重新組合，得到新的有用的問題？

    不難看出，學(xué)生在上述“反思”這一環(huán)節(jié)中，不但可以將手頭的問題處理得盡善盡美，而且還可以使學(xué)生對所學(xué)的知識認(rèn)識得更深刻，對由此派生出來的新問題，新規(guī)律有較清醒的認(rèn)識。這對習(xí)題的類化、同化，對學(xué)生掌握解題思維規(guī)律， 都有很大的益處。

    總之，我們利用解題所開創(chuàng)的有利時機(jī)，通過“釋題、分析、解題、反思”這四個環(huán)節(jié)，使學(xué)生逐步地掌握解題的思維規(guī)律和程序，通過解題思維程序的探討和示范，大大地拓展學(xué)生對問題認(rèn)識的廣度和深度，并賦予學(xué)生極大的認(rèn)識能力和創(chuàng)造能力。